求解时连续代数Riccati方程的不变子空间方法研究【摘要】

【摘要】物理和工程中的许多问题,如线性二次最优控制、Kalman滤波、H_∞控制、完全最小二乘问题及两点边值问题等,最终会归结为一类特殊方程—代数Riccati方程的求解问题,不变子空间方法是求解这类方程的一种有效方法,这涉及到数值求解矩阵的特征问题。本文研究讨论的重点是基于不变子空间方法的Hamilton矩阵特征问题,该问题对求矩阵的实或复的稳定半径、计算传输矩阵的H_∞范数、计算化学中的线性响应理论要求按模极大找到Hamilton矩阵的部分特征值及对应的特征向量等问题具有重要的理论意义和实用价值。针对这个问题,寻求一种在数值上稳定并保持Hamilton结构的有效的算法在数值界一直悬而未决。本文在前人的经验和结果的基础上改进了计算Hamilton矩阵的(近似)特征值方法。首先介绍了Hamilton矩阵特征问题的来源,解决这类问题的基本方法以及各方法的优缺点,通过比较,确定了计算Hamilton矩阵特征值及不变子空间这一研究方向。通过对辛几何中一些概念的介绍及其代数结构的性质分析导出了辛矩阵的概念,并指明了在辛几何的框架下以辛矩阵为工具对Hamilton矩阵特征值问题进行研究。然后给出了求解Hamilton矩阵特征问题的一些理论结果及常见的标准形式,并对SR算法的框架作了粗略地介绍。在接下来的章节中将辛Lanczos过程展开为计算Hamilton矩阵的全部或部分极特征值的辛Lanczos算法,并对其终止条件和误差估值作了分析和说明;最后在原有的SR算法的基础上引入了平方化策略从而节省了运算量,并对隐式和显式版本的SR方法作了比较分析,对其数值性质作了有益的探索。

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【目录】：

摘要4-5
Abstract5-6
目录6-8
1 绪论8-15
1．1 问题背景及来源8-9
1．2 问题意义9
1．3 解代数Riccati方程常用的方法9-14
1．3．1 迭代法11-12
1．3．2 矩阵符号函数法12-13
1．3．3 标准型法13
1．3．4 嵌入参数法13
1．3．5 Riccati微分方程法13-14
1．4 本文的主要工作14-15
2 辛空间中的线性代数15-28
2．1 Lagrange力学与Hamilton力学15-16
2．2 辛几何介绍16-19
2．3 辛空间及其子空间19-21
2．4 辛变换及其矩阵表示21-24
2．5 辛矩阵的性质24-28
3 Hamilton矩阵及其性质28-38
3．1 基本概念和性质28-29
3．2 标准型和因子分解29-38
4 Hamilton矩阵特征值问题的辛Lanczos算法38-46
4．1 引言38
4．2 辛Lanczos过程基础及其性质38-41
4．3 算法及实现条件41-43
4．4 误差估值43-46
5 求解Hamilton矩阵特征值的一种平方化方法46-56
5．1 方法初步46-47
5．2 平方Hamilton矩阵及其性质47-48
5．3 平方Hamilton矩阵的约化48-50
5．4 隐式版本的SR方法50-51
5．5 关于两类辛变换矩阵的几点说明51-53
5．6 数值性质和实验53-56
参考文献56-59
攻读硕士学位期间发表学术论文情况59-60
致谢60-61
大连理工大学学位论文版权使用授权书61